Cho x, y , z \(\ne\) 0 thỏa mãn thỏa mãn x + y + z = xyz và \(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{y}\) + \(\dfrac{1}{z}\) = \(\sqrt{3}\) . Tính giá trị biểu thức P = \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2}}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{y^2}}\) + \(\dfrac{1}{\sqrt{z^2}}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y-z}=\dfrac{2020}{2021}\)
Tính giá trị biểu thức \(M=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+y-z}}\)
Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y-z}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{x+y}{z(x+y-z)}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}-\frac{1}{z(x+y-z)})=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y-z)-xy}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z-x)(y-z)}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(z-x)(y-z)=0\)
Xét các TH sau:
TH1: $x+y=0$. TH này loại do ĐKXĐ $x,y>0$
TH2: $z-x=0\Leftrightarrow z=x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2020}{2021}$
\(M=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{2}{\sqrt{y}}=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
TH3: $y-z=0$ tương tự TH2, ta có \(M=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\).CMR \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
Đúng 0
Bình luận (1)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1\\\).CMR
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)
Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: x+y+z=xyz. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: x+y+z=xyz. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
cho x,y,z là các số thực thỏa mãn \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)=1\)
Tính giá trị biểu thức P=\(\dfrac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+1+\sqrt{xyz}}+\dfrac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{y\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+1+\sqrt{xyz}}+\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{z\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+1+\sqrt{xyz}}\)
Cho các số x, y, z thỏa mãn x+ y+ xyz= z. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\dfrac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\dfrac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}\)
Cho x, y, z >0 thỏa mãn : xyz=1. CMR :
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{xz}\ge3\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)
=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z = xyz. CMR :
\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
Ta có:\(\frac{4+4\sqrt{1+x^2}}{4x}\le\frac{4+5+x^2}{4x}=\)\(\frac{x^2+9}{4x}\)Tương tự ta đc P\(\le\frac{x+y+z}{4}+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\)\(\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}\)\(=x+y+z\)
Dấu '='xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
20 tháng 11 2021 lúc 15:33
Cho 3 số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn với xyz(3x + y + z)(3y + z + x)(3z + x + y) \(\neq\) 0 thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{x}{y+z+3x}=\dfrac{y}{z+x+3y}=\dfrac{z}{x+y+3z}\). Tính giá trị biểu thức:
A = \(\left(2+\dfrac{y+z}{x}\right)\left(2+\dfrac{z+x}{y}\right)\left(2+\dfrac{x+y}{z}\right)\)
Xét \(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=-x\\z+x=-y\\x+y=-z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\left(2-1\right)\left(2-1\right)\left(2-1\right)=1\)
Xét \(x+y+z\ne0\) thì ta có:
\(\dfrac{x}{y+z+3x}=\dfrac{y}{z+x+3y}=\dfrac{z}{x+y+3z}=\dfrac{x+y+z}{5x+5y+5z}=\dfrac{x+y+z}{5\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=y+z+3x\\5y=z+x+3y\\5z=x+y+3z\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\2y=z+x\\2z=x+y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\left(2+2\right)\left(2+2\right)\left(2+2\right)=64\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}A=1\\A=64\end{matrix}\right.\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Nếu bị lỗi thì bạn có thể xem đây nhé:
Đúng 1
Bình luận (1)